Valeurs moyenne et efficace d’un signal sinusoïdal | Apprendre à réparer un ancien poste de radio à lampes

1. Valeur moyenne

1.1 Calcul mathématique

Soit le signal sinusoïdal $v=A\cos (\omega t)$ .
$\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}$ , $T$ étant la période.

La valeur moyenne $\bar{V}$ de $v$ se calcule de la façon suivante :

$\displaystyle \bar{V}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v}dt$ .

$\displaystyle \bar{V}=\frac{A}{T}\int_{0}^{T}{\cos (\omega t)}dt=\frac{A}{T}\left[ \frac{1}{\omega }\sin (\omega t) \right]_{0}^{T}$

$\displaystyle \bar{V}=\frac{A}{T\omega }\left[ \sin (\omega T)- \sin(0) \right]=\frac{A}{T\omega }\left[ \sin (\frac{2\pi }{T}T)-\sin (0) \right]$

$\bar{V}=0$

La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal est nulle.
Le secteur est un signal sinusoïdal. Sa valeur moyenne est donc nulle.

En position CC (Courant Continu) ou DC (Direct Current), un multimètre mesure la valeur moyenne.

1.2 Représentation graphique

graphe de la valeur moyenne d’un cosinus

L’intégrale d’une fonction est égale à la surface comprise entre la courbe représentant cette fonction et l’axe de la variable (ici le temps $t$ ).
La surface située au-dessus de cet axe est considérée positive et la surface située en dessous est considérée négative.

Sur une période, les deux surfaces colorées sont d’égale valeur mais de signe contraire. Leur somme est donc nulle. On retrouve bien le résultat calculé précédemment.

2. Valeur efficace

2.1 Définition

La valeur efficace d’une tension ou d’un courant non continu est la valeur qu’aurait une tension ou un courant continu qui produirait le même effet thermique (par exemple : un échauffement identique dans une résistance).

2.2 Calcul mathématique

La valeur efficace ${{V}_{eff}}$ de $v$ se calcule de la façon suivante :

$\displaystyle {{V}_{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{{v}^{2}}}dt}$ .

C’est donc la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la grandeur considérée.
En anglais, « efficace » se traduit par « RMS » : Root Mean Square.
Terminologie qui traduit parfaitement la formule précédente : racine carrée de la valeur moyenne du carré !

$\displaystyle {{V}_{eff}}^{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{{v}^{2}}}dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}(\omega t)}dt$

Rappelons : $\cos (2a)=2{{\cos }^{2}}a-1$ d’où $\displaystyle {{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos (2a)}{2}$

$\displaystyle {{V}_{eff}}^{2}=\frac{{{A}^{2}}}{T}\int_{0}^{T}{\frac{1+\cos (2\omega t)}{2}}dt=\frac{{{A}^{2}}}{2T}\left[ t+\frac{1}{2\omega }\sin (2\omega t) \right]_{0}^{T}$

$\displaystyle {{V}_{eff}}^{2}=\frac{{{A}^{2}}}{2T}\left\{ (T-0)+\frac{1}{2\omega }\left[ \sin (2\omega T)-\sin (0) \right] \right\}$

$\displaystyle {{V}_{eff}}^{2}=\frac{{{A}^{2}}}{2T}\left\{ (T-0)+\frac{1}{2\omega }\left[ \sin (2\frac{2\pi }{T}T)-\sin (0) \right] \right\}$

$\displaystyle {{V}_{eff}}^{2}=\frac{{{A}^{2}}}{2T}T=\frac{{{A}^{2}}}{2}$

$\displaystyle {{V}_{eff}}=\frac{A}{\sqrt{2}}$

La valeur efficace est égale à la valeur crête divisée par racine de 2.
La valeur crête est donc égale à la valeur efficace multipliée par racine de 2.

Remarquons : $\displaystyle \mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Retenons la valeur approchée de $\mathbf{\sqrt{2}}$ : 1,4142.

Ainsi que celle de $\displaystyle \mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ ou $\displaystyle \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ : 0,707.

En position CA (Courant Alternatif) ou AC (Alternative Current), un multimètre classique mesure la valeur efficace.
Du moins est-ce vrai pour un signal sinusoïdal et jusqu’à une certaine fréquence. Il faut donc bien connaître les caractéristiques de l’appareil de mesure que l’on utilise.

Attention : si la valeur moyenne du signal n’est pas nulle, il y a d’autres précautions à prendre…

Le secteur est un signal sinusoïdal. Sa valeur efficace vaut 230 V. Donc lorsque l’on parle du « secteur 230 V », on cite sa valeur efficace.
Par conséquent, sa valeur crête est égale à 230 x 1,4142 = 325 V environ !

3. Résumé