Nombre complexe | Apprendre à réparer un ancien poste de radio à lampes

1. Définition

Un nombre complexe $z$ est un couple de deux nombres réels $a$ et $b$ .
$z=(a;b)$

Par exemple :
(1 ; 5),
(–2 ; 0),
(3 ; –9),
(3,5 ; 5,9).

2. Représentation graphique

représentation d’un nombre complexe dans xOy

$O{{X}_{M}}=a$
$O{{Y}_{M}}=b$

Les coordonnées du point M sont donc :
- abscisse $=a$
- ordonnée $=b$ .

Le point M représente graphiquement le nombre complexe $z$ .

3. Représentation mathématique

$z$ s’écrit aussi de la façon suivante : $z=a+ib$ .
$a$ est appelé « partie réelle » de $z$ et $b$ « partie imaginaire ».
$i$ est « le nombre imaginaire ».

Avec $a=0$ et $b=1$ , on obtient : $z=i$ .
$i$ est donc le nombre complexe (0 ; 1).

En électronique, pour ne pas le confondre avec un courant $i$ , on le note « $\boldsymbol{j}$ » : $z=a+jb$ .

Par suite de la définition de la multiplication de deux nombres complexes (définition que nous ne développerons pas ici), ${{j}^{2}}=-1$ .

4. Module et argument de $z$

4.1 Module de $z$

La « distance » $OM$ est appelée « module » de $z$ .

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle OX_MM :
$O{{M}^{2}}=O{{X}_{M}}^{2}+M{{X}_{M}}^{2}=O{{X}_{M}}^{2}+O{{Y}_{M}}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ .

D’où : $OM=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .

On note ainsi le module de $z$ : $\left| z \right|$ .
$OM= \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

4.2 Argument de $z$

$\theta$ est appelé « argument » de $z$ .

$\displaystyle \tan \theta =\frac{{{X}_{M}}M}{O{{X}_{M}}}=\frac{b}{a}$

4.3 Une autre représentation mathématique de $z$

$\displaystyle \cos \theta =\frac{O{{X}_{M}}}{OM}=\frac{a}{\left| z \right|}$ et $\displaystyle \sin \theta =\frac{{{X}_{M}}M}{OM}=\frac{b}{\left| z \right|}$ .