Modulation d’amplitude | Apprendre à réparer un ancien poste de radio à lampes

1. Signal utile et signal porteur

Le signal utile, c’est le son : la parole, la musique. Il s’agit d’un signal BF (Basses Fréquences) destiné aux oreilles de l’auditeur.
Ce signal ne peut être transmis directement à grande distance ; heureusement, sinon on ne s’entendrait plus !
Il doit donc être « porté » par un autre signal qui, lui, sait franchir ces grandes distances. Ce signal porteur est un signal HF (Hautes Fréquences).

2. Représentation mathématique

2.1 Le signal utile

On démontre (Fourier) que le signal utile peut toujours être décomposé en une série de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences.
On va donc prendre une seule fréquence utile $\boldsymbol{F}$ et ce qui sera dit pour cette fréquence pourra être appliqué à toutes les autres donc à la totalité du signal utile : le son !

L’expression mathématique du signal utile peut se mettre sous la forme suivante :
$m\cos \left[ \left( 2\pi F \right)t \right]$ .
En notant $\boldsymbol{\Omega =2\pi F}$ , on obtient : signal utile $\boldsymbol{=m\cos (\Omega t)}$ .

2.2 Le signal porteur

Si l’émetteur est à la fréquence HF $\boldsymbol{f}$ , l’expression mathématique du signal porteur peut se mettre sous la forme suivante :
$E\cos \left[ \left( 2\pi f \right)t \right]$ .
En notant $\boldsymbol{\omega =2\pi f}$ , on obtient : signal porteur $\boldsymbol{=E\cos (\omega t)}$ .

2.3 Le signal HF modulé BF en amplitude

L’amplitude maximale du signal HF vaut $E$ .
L’idée est de faire varier cette amplitude maximale au rythme du signal utile.
On effectue ce que l’on appelle techniquement « une modulation » du signal porteur par le signal utile et comme ici cette modulation est effectuée en amplitude, ce type de modulation est appelée « Modulation d’amplitude » (MA) ou « Amplitude modulation » (AM) en anglais.

À la station émettrice, on va transformer l’amplitude maximale du signal porteur $E$ en $Em \cos (\Omega t)$ qui varie bien en amplitude instantanée (c-à-d à tout instant $t$ ) comme le signal utile.

Comment faire ?
Il suffit d’injecter le signal utile et le signal porteur dans une « boîte » (le modulateur) qui donnera en sortie le produit de ces deux signaux.
Appelons $\boldsymbol{s}$ ce signal de sortie :
$s=m\cos (\Omega t)\times E \cos (\omega t)$ qui s’écrit également :
$s=\left[ Em\cos \left( \Omega t \right) \right]\times \cos \left( \omega t \right)$ .
Et le tour est joué ! On amplifie ce signal composite et on le fournit à l’antenne d’émission.

Enfin, pas tout à fait… En effet, pour faciliter la démodulation dans le poste de radio c’est-à-dire l’extraction du signal utile à partir du signal composite reçu à l’antenne de réception, on verra qu’il est beaucoup plus facile de faire cette extraction si, à l’émission, on a préalablement rajouté… le signal porteur !
L’usage a donné de nom de « détection » à cette opération de démodulation-extraction.

Mais revenons à notre signal composite (le signal modulé) qui aura donc maintenant pour expression :
$s=m\cos (\Omega t)\times E\cos (\omega t)+E\cos (\omega t)$ .
Qui s’écrit aussi :
$\boldsymbol{s=E\left[ 1+m\cos \left( \Omega t \right) \right]\cos \left( \omega t \right)}$ .

$\boldsymbol{m}$ est appelé « indice », « taux » ou « profondeur » de modulation.

3. Représentation graphique dans le domaine du temps

graphe d’un signal sinusoïdal modulé en amplitude

L’axe horizontal est celui du temps, l’axe vertical celui des amplitudes (tension ou courant).

Le signal sinusoïdal à fréquence élevée est le signal porteur modulé en amplitude par le signal utile, dont la fréquence est plus basse.
L’amplitude maximale du signal porteur n’est plus constante mais varie au rythme du signal utile, d’où le nom de « modulation d’amplitude ».

Rappelons l’expression mathématique du signal porteur : $E\cos (\omega t)$ .
Pour simplifier la représentation graphique ci-dessus, on a choisi :
$E=1$ .

Rappelons également l’expression mathématique du signal utile : $m\cos (\Omega t)$ .
Dans l’exemple graphique, on a choisi :
$m=0,3$ soit $30$ $\%$ ( $m$ étant l’indice de modulation).

Le signal porteur HF modulé en amplitude par le signal utile BF s’écrit alors :
$s=\left[ 1+0,3\cos \left( \Omega t \right) \right]\cos \left( \omega t \right)$ .

La valeur crête positive de ce signal correspond aux instants $t$ où $\cos (\omega t)=1$ .
Mais au lieu de valoir 1 en absence de modulation, cette valeur crête vaut
$\left[ 1+0,3\cos \left( \Omega t \right) \right]$ . Le second terme $0,3\cos (\Omega t)$ représente une sinusoïde ayant la fréquence $F$ du signal utile $(F=\Omega /2\pi )$ ; son amplitude maximale vaut 0,3.

Comme on ajoute la valeur 1 à $0,3\cos (\Omega t)$ , cette sinusoïde évolue de part et d’autre de la ligne supérieure bleue du graphe précédent, cette ligne représentant justement l’amplitude 1.

La valeur maximale de la valeur crête positive de $s$ est donc égale à :
$(1+0,3)\times 1=1,3$ .
C’est la ligne verte du haut.

Et sa valeur minimale vaut :
$(1-0,3)\times 1=0,7$ .
C’est la ligne verte du bas.

La valeur crête négative du signal $s$ correspond aux instants $t$ où $\cos (\omega t)=-1$ .
Cette valeur est donc comprise entre :
$(1+0,3)\times (-1)=-1,3$ et $(1-0,3)\times (-1)=-0,7$ .

4. Une autre façon de formuler le signal modulé en amplitude

Rappelons quelques identités remarquables en trigonométrie :
$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ .

En ajoutant membre à membre :
$\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$ .
Soit :
$\displaystyle \cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)+\cos \left( a+b \right) \right]$ .

Appliquons à $s$ :
$s=mE\cos (\Omega t) \cos (\omega t)+E\cos (\omega t)$ .
Ou encore :
$s=mE\cos (\omega t)\cos (\Omega t)+E\cos (\omega t)$ .

Avec ici $a=\omega t$ et $b=\Omega t$ . D’où :
$a-b=\omega t -\Omega t=(\omega -\Omega )t$
$a+b=\omega t +\Omega t=(\omega +\Omega )t$ .

$\displaystyle s= \frac{mE}{2} \left\{ \cos \left[ \left( \omega -\Omega \right)t \right]+\cos \left[ \left( \omega +\Omega \right)t \right] \right\}+E\cos \left( \omega t \right)$

$\boldsymbol{s=}$ $\boldsymbol{E\cos \left( \omega t \right)}$ $\boldsymbol{+}$ $\displaystyle \boldsymbol{\frac{mE}{2}\cos \left[ \left( \omega -\Omega \right)t \right]}$ $\boldsymbol{+}$ $\displaystyle \boldsymbol{\frac{mE}{2}\cos \left[ \left( \omega +\Omega \right)t \right]}$

Le signal modulé en amplitude est donc la somme de trois signaux sinusoïdaux :

un à la fréquence $\boldsymbol{f}$ car $\omega =2\pi f$ ;
c’est le signal porteur d’amplitude maximale $E$ ,
un à la fréquence $\boldsymbol{(f-F)}$ car $(\omega -\Omega )=(2\pi f -2\pi F)=2\pi (f-F)$ ,
d’amplitude maximale ${mE}/{2}\;$ ,
un à la fréquence $\boldsymbol{(f+F)}$ car $(\omega +\Omega )=(2\pi f +2\pi F)=2\pi (f+F)$ ,
d’amplitude maximale ${mE}/{2}\;$ .

5. Représentation graphique dans le domaine des fréquences

Maintenant l’axe horizontal est celui des fréquences et non plus celui du temps, l’axe vertical restant celui des amplitudes (tension ou courant).

On représente chaque signal sinusoïdal par un fin bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à son amplitude maximale. On obtient ainsi un peigne possédant plus ou moins de dents n’ayant pas toutes la même hauteur !

Cette représentation dans le domaine des fréquences s’appelle « le spectre du signal ».

On retrouve bien les trois composantes de notre signal HF modulé BF :

une « raie » à la fréquence $\boldsymbol{f}$ , c’est le signal porteur d’amplitude maximale $E$ ,
une « raie » à la fréquence $\boldsymbol{(f-F)}$ , d’amplitude maximale ${mE}/{2}\;$ ,
une « raie » à la fréquence $\boldsymbol{(f+F)}$ , d’amplitude maximale ${mE}/{2}\;$ .

Bien entendu le signal utile ne se réduit pas à la seule fréquence $F$ mais s’étale d’une fréquence minimale $Fmin$ à une fréquence maximale $Fmax$ .
Voici alors le spectre du signal modulé en amplitude :

graphe du spectre complet d’un signal sinusoïdal modulé en amplitude

De nombreuses raies (non représentées) emplissent les espaces BLI et BLS.
Le signal utile occupe 2 bandes de fréquences aux contenus identiques :

la bande latérale inférieure (BLI), s’étendant de $(f - Fmax)$ à $(f - Fmin)$ ,
la bande latérale supérieure (BLS), s’étendant de $(f + Fmin$ ) à $(f + Fmax)$ .

Le signal total est composé de ces 2 bandes latérales et de la fréquence porteuse centrale $f$ .
Il occupe une largeur totale en fréquence égale à :
$(f + Fmax) - (f - Fmax) = 2Fmax$ .

Autrement dit, plus $Fmax$ est grand, plus cette largeur totale est grande.
Pour $Fmax =$ 4000 Hz, elle vaut 8000 Hz.

Pour France Inter en GO :

la porteuse est sur 162 kHz,
la BLI démarre à 158 kHz (162 – 4),
la BLS s’étend jusqu’à 166 kHz (162 + 4).

La station occupe donc la portion suivante du spectre des fréquences : 158 à 166 kHz.

Pour ne pas se brouiller l’une l’autre, les fréquences de deux stations adjacentes doivent donc être distantes de 8 kHz. En réalité la valeur internationalement choisie est égale à 9 kHz en GO et en PO.

6. Quelques remarques

Les BLI et BLS contiennent donc strictement la même information qui est d’ailleurs l’information correspondant au signal utile.
Par conséquent on occupe deux fois trop de spectre ! Or le spectre des fréquences est une ressource non extensible…
La porteuse n’est finalement pas nécessaire puisqu’elle ne contient aucune information utile.
L’émetteur gaspille de l’énergie pour envoyer dans son antenne cette porteuse et une bande latérale superflue (la BLI ou la BLS).
À l’émission, il est possible de supprimer la porteuse et l’une des 2 bandes latérales afin de réduire la largeur du spectre occupé et l’énergie consommée par l’émetteur. Mais ce mode de modulation n’est pas utilisé par les stations classiques transmettant en PO ou en GO.

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