Circuit série, circuit parallèle | Apprendre à réparer un ancien poste de radio à lampes

Préambule

Dans la première partie de ce topo, la notation des tensions et des courants sera une notation puriste : elle indiquera sans ambiguïté « la polarité » de ces tensions et le sens de ces courants. Les formules utilisant cette notation deviendront alors particulièrement lourdes et paraîtront compliquées, en première lecture.

Dans la deuxième partie, cette notation sera simplifiée mais nécessitera de bien prêter attention aux flèches dessinées sur les schémas. Il suffira de se rappeler que les flèches désignant tensions et courants devront toujours être placées tête-bêche pour appliquer la loi d’Ohm $V=ZI$ sans souci de signe.

${Z}_{1}$ est l’impédance du composant Z₁.
${Z}_{2}$ est l’impédance du composant Z₂.

Première partie

1. Circuit série

1.1 Le courant et les tensions

Z₁ et Z₂ sont branchés en série. Ces deux composants sont traversés par un même courant : ${I}_{\text{A vers B}}$ .

${V}_{\text{A/B}}$ est la tension aux bornes de cet ensemble série.

${V}_{\text{A/K}}$ est la tension aux bornes de Z₁.
${V}_{\text{K/B}}$ est la tension aux bornes de Z₂.

Ces trois tensions sont reliées entre elles par la relation fondamentale suivante :
$\boldsymbol{{V}_{\textbf{A/B}}={V}_{\textbf{A/K}}+{V}_{\textbf{K/B}}}$ .

En série, les tensions s’ajoutent.

1.2 Loi d’Ohm dans un circuit série

Appliquons la loi d’Ohm aux impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ :
${V}_{\text{A/K}}={Z}_{1} {I}_{\text{A vers B}}$
${V}_{\text{K/B}}={Z}_{2} {I}_{\text{A vers B}}$ .

${V}_{\text{A/B}}={V}_{\text{A/K}}+{V}_{\text{K/B}}={Z}_{1} {I}_{\text{A vers B}}+{Z}_{2} {I}_{\text{A vers B}}=({Z}_{1}+{Z}_{2}){I}_{\text{A vers B}}$

$\boldsymbol{{V}_{\textbf{A/B}}=({Z}_{1}+{Z}_{2}){I}_{\textbf{A vers B}}}$

Entre A et B, l’ensemble des impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ branchées en série est équivalent à ${Z}_{1}+{Z}_{2}$ .

1.3 Circuit série, résumé

En série, les tensions et les impédances s’ajoutent ; le courant reste unique.

2. Circuit parallèle

2.1 La tension et les courants

Z₁ et Z₂ sont branchés en parallèle. Ces deux composants sont soumis à une même tension : ${V}_{\text{A/B}}$ .

Le courant ${I}_{\text{A vers B}}$ se partage en A’ :
${I}_{1\text{, A' vers B'}}$ traverse Z₁,
${I}_{2\text{, A' vers B'}}$ traverse Z₂.
Ces deux courants se rejoignent en B’.

Le courant total ${I}_{\text{A vers B}}$ , parti de A et reconstitué en B’, arrive finalement en B. En route, rien ne s’est perdu !

Ces trois courants sont reliés entre eux par la relation fondamentale suivante :
$\boldsymbol{{I}_{\textbf{A vers B}}={I}_{1\textbf{, A' vers B'}}+{I}_{2\textbf{, A' vers B'}}}$ .

En parallèle, les courants s’ajoutent.

On appelle « nœuds » les points A’ et B’.

La relation fondamentale précédente peut également s’énoncer de la façon suivante :
« La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent ».
On peut aussi penser « tuyaux » et té de plomberie !

2.2 Loi d’Ohm dans un circuit parallèle

Appliquons la loi d’Ohm aux impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ :
${V}_{\text{A'/B'}}={V}_{\text{A/B}}={Z}_{1} {I}_{1\text{, A' vers B'}}$ d’où $\displaystyle {I}_{1\text{, A' vers B'}}= \frac{{V}_{\text{A/B}}} {{Z}_{1}}$

${V}_{\text{A'/B'}}={V}_{\text{A/B}}={Z}_{2} {I}_{2\text{, A' vers B'}}$ d’où $\displaystyle {I}_{2\text{, A' vers B'}}= \frac{{V}_{\text{A/B}}} {{Z}_{2}}$ .

$\displaystyle {I}_{\text{A vers B}}={I}_{1\text{, A' vers B'}}+{I}_{2\text{, A' vers B'}}= \frac{{V}_{\text{A/B}}}{{Z}_{1}}+\frac{{V}_{\text{A/B}}}{{Z}_{2}}={V}_{\text{A/B}}\left( \frac{1}{{Z}_{1}}+\frac{1}{{Z}_{2}} \right)$

$\boldsymbol{\displaystyle {V}_{\textbf{A/B}}={I}_{\textbf{A vers B}} \frac{1}{ \frac{1}{{Z}_{1}}+ \frac{1}{{Z}_{2}}}}$

Nous remarquons que cette expression est bien moins sympathique que le ${V}_{\text{A/B}}=({Z}_{1}+{Z}_{2}){I}_{\text{A vers B}}$ du circuit série !
Entre A et B, l’ensemble des impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ branchées en parallèle est équivalent à l’inverse de la somme de leurs inverses…

Quand il n’y a que deux composants en parallèle comme ici, l’expression peut bien entendu se simplifier ainsi :

$\boldsymbol{\displaystyle {V}_{\textbf{A/B}}={I}_{\textbf{A vers B}} \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{2}}}}$ .

2.3 Une loi d’Ohm « parallèle »…

Soit $Z$ l’impédance d’un composant Z qui serait connecté entre A et B.
Appelons « admittance » $Y$ l’inverse de cette impédance :
$\displaystyle Y=\frac{1}{Z}$ .

Appliquons la loi d’Ohm à $Z$ : ${V}_{\text{A/B}}=Z {I}_{\text{A vers B}}$ .
$\displaystyle {I}_{\text{A vers B}}= \frac{{V}_{\text{A/B}}}{Z}=Y{V}_{\text{A/B}}$ .

Pour simplifier la notation, supprimons les références à A et B :
$V=ZI$ et $I=YV$ .

La loi d’Ohm peut donc également s’écrire de la façon suivante : $\boldsymbol{I=YV}$ .

$I$ a remplacé $V$ ,

$Y$ a remplacé $Z$ ,

$V$ a remplacé $I$ .

Dans un circuit parallèle, cette formulation simplifie souvent énormément les calculs intermédiaires. À la fin de ces calculs, il est facile de retrouver l’impédance $Z$ qui est l’inverse de l’admittance $Y$ .

Remarque
L’admittance d’une résistance s’appelle « conductance ». Elle est souvent notée $\boldsymbol{G}$ .
$\boldsymbol{I=GV}$ .

Appliquons cette loi d’Ohm « parallèle » à ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ :
$\displaystyle {Y}_{1}=\frac{1}{{Z}_{1}}$ et $\displaystyle {Y}_{2}=\frac{1}{{Z}_{2}}$ .

${I}_{1\text{, A' vers B'}}={Y}_{1} {V}_{\text{A/B}}$
${I}_{2\text{, A' vers B'}}={Y}_{2} {V}_{\text{A/B}}$

${I}_{\text{A vers B}}={I}_{1\text{, A' vers B'}}+{I}_{2\text{, A' vers B'}}={Y}_{1} {V}_{\text{A/B}}+{Y}_{2} {V}_{\text{A/B}}=({Y}_{1}+{Y}_{2}){V}_{\text{A/B}}$

$\boldsymbol{{I}_{\textbf{A vers B}}=({Y}_{1}+{Y}_{2}){V}_{\textbf{A/B}}}$

Entre A et B, l’ensemble des admittances ${Y}_{1}$ et ${Y}_{2}$ branchées en parallèle est équivalent à ${Y}_{1}+{Y}_{2}$ .

Retrouve-t-on le même résultat qu’au paragraphe précédent ?
$\displaystyle {I}_{\text{A vers B}}=({Y}_{1}+{Y}_{2}){V}_{\text{A/B}}=(\frac{1}{{{Z}_{1}}}+\frac{1}{{{Z}_{2}}}){V}_{\text{A/B}}$
Autrement dit :
$\displaystyle {V}_{\text{A/B}}={I}_{\text{A vers B}} \frac{1}{ \frac{1}{{Z}_{1}}+ \frac{1}{{Z}_{2}}}$ .

Nous retrouvons bien le même résultat.

Pour un circuit parallèle, nous constatons que les calculs intermédiaires en $Y$ sont beaucoup plus élégants que les calculs en $Z$ .

2.4 Circuit parallèle, résumé

En parallèle, les courants et les admittances s’ajoutent ; la tension reste unique.

3. Dualité série - parallèle

La dualité « série - parallèle » se traduit en parfaites dualités « tension – courant » et « impédance – admittance ».

$V$	$\Leftrightarrow$	$I$
$Z$	$\Leftrightarrow$	$Y$
$I$	$\Leftrightarrow$	$V$
$\boldsymbol{V=ZI}$	$\boldsymbol{ \Leftrightarrow }$	$\boldsymbol{I=YV}$

Deuxième partie

1. Circuit série

1.1 Le courant et les tensions

Z₁ et Z₂ sont branchés en série. Ces deux composants sont traversés par un même courant : $I$ .

$V$ est la tension aux bornes de cet ensemble série.

${V}_{1}$ est la tension aux bornes de Z₁.
${V}_{2}$ est la tension aux bornes de Z₂.

Ces trois tensions sont reliées entre elles par la relation fondamentale suivante :
$\boldsymbol{V={V}_{1}+{V}_{2}}$ .

En série, les tensions s’ajoutent.

1.2 Loi d’Ohm dans un circuit série

Appliquons la loi d’Ohm aux impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ :
${V}_{1}={Z}_{1} I$
${V}_{2}={Z}_{2} I$ .

$V={V}_{1}+{V}_{2}={Z}_{1} I+{Z}_{2} I=({Z}_{1}+{Z}_{2})I$

$\boldsymbol{V=({Z}_{1}+{Z}_{2})I}$

Entre A et B, l’ensemble des impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ branchées en série est équivalent à ${Z}_{1}+{Z}_{2}$ .

1.3 Circuit série, résumé

En série, les tensions et les impédances s’ajoutent ; le courant reste unique.

2. Circuit parallèle

2.1 La tension et les courants

Z₁ et Z₂ sont branchés en parallèle. Ces deux composants sont soumis à une même tension : $V$ .

Le courant $I$ se partage en A’ :
${I}_{1}$ traverse Z₁,
${I}_{2}$ traverse Z₂.
Ces deux courants se rejoignent en B’.

Le courant total $I$ , parti de A et reconstitué en B’, arrive finalement en B. En route, rien ne s’est perdu !

Ces trois courants sont reliés entre eux par la relation fondamentale suivante :
$\boldsymbol{I={I}_{1}+{I}_{2}}$ .

En parallèle, les courants s’ajoutent.

On appelle « nœuds » les points A’ et B’.

2.2 Loi d’Ohm dans un circuit parallèle

Appliquons la loi d’Ohm aux impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ :
$V={Z}_{1} {I}_{1}$ d’où $\displaystyle {I}_{1}= \frac{V} {{Z}_{1}}$

$V={Z}_{2} {I}_{2}$ d’où $\displaystyle {I}_{2}= \frac{V} {{Z}_{2}}$ .

$\displaystyle I={I}_{1}+{I}_{2}= \frac{V}{{Z}_{1}}+\frac{V}{{Z}_{2}}=V\left( \frac{1}{{Z}_{1}}+\frac{1}{{Z}_{2}} \right)$

$\boldsymbol{\displaystyle V=I \frac{1}{ \frac{1}{{Z}_{1}}+ \frac{1}{{Z}_{2}}}}$

Nous remarquons que cette expression est bien moins sympathique que le $V=({Z}_{1}+{Z}_{2})I$ du circuit série !
Entre A et B, l’ensemble des impédances ${Z}_{1}$ et ${Z}_{2}$ branchées en parallèle est équivalent à l’inverse de la somme de leurs inverses…

Quand il n’y a que deux composants en parallèle comme ici, l’expression peut bien entendu se simplifier ainsi :

$\boldsymbol{\displaystyle V=I \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{2}}}}$ .